交替（反對稱）雙線性型

交替雙線性型是與對稱相反的極端：在型的眼裡，每個向量都「與自身垂直」，即對所有 v 有 B(v, v) = 0。利用雙線性把 B(u+w, u+w) = 0 展開，你立刻得到 B(u, w) = -B(w, u)，這就是賦予它另一個名字的反對稱性。所以交替意味著矩陣反稱，A^T = -A，且對角線上被迫為零。

幾何上這些型度量的是有向面積，而非長度。原型是 2x2 行列式：B(u, v) = u_1 v_2 - u_2 v_1 是由 u 與 v 張成的平行四邊形的有向面積，交換 u 與 v 時它變號，恰恰因為面積是有向的。這裡沒有「向量長度」的概念，這就是為何你無法由交替型造出二次型——Q(v) = B(v,v) 恆為零。

它們的分類異常乾淨。任何交替型都可經合同化為分塊對角矩陣，由標準雙曲 2x2 塊 [0, 1; -1, 0] 排列、其後接一塊零塊組成。雙曲塊的個數等於秩除以二——所以交替型的秩永遠是偶數，而單憑秩就是完整的合同不變量。這裡沒有符號差要操心。

用詞上的注意：在特徵為 2 的數域上，「交替」（B(v,v)=0）嚴格強於「反對稱」（A^T = -A），因為那裡 -1 = 1。在特徵非 2 時兩個概念重合，多數課程把這兩個詞互換使用。這些型中非退化的情形如此重要，以至於另有專名：辛型。