辛型

辛型是既交替又非退化的雙線性型：它滿足對所有 v 有 B(v, v) = 0（交替），且根基平凡（非退化）。它是有向面積而非長度的幾何——經典力學中相空間的自然結構，那裡成對的（位置，動量）共處，而每一對中的面積被動力學所守恆。

兩個事實把辛型釘得死死的。其一，它們只存在於偶數維：交替型的秩是偶數，而非退化迫使秩等於全維數，故 n 必為偶。其二，沒有符號差來分類它們——在任何數域上，每個辛型在合適的基下都長得一樣。給定維數的所有辛空間彼此同構。

那個典範模型就是標準辛矩陣 J，由雙曲塊 [0, 1; -1, 0] 沿對角線堆疊而成（等價於分塊矩陣 [0, I; -I, 0]）。一組 Darboux 式的基把座標分成共軛對 (q_i, p_i)，滿足 B(q_i, p_j) = delta_ij 而其餘配對全為零——這正是哈密頓方程的代數骨架。

保持辛型的線性映射構成辛群 Sp(2n)，它是保持對稱內積的正交群在交替型上的表親。正交映射保持長度與譜定理，辛映射則保持面積，並支撐哈密頓流、劉維爾定理以及大量現代幾何。這個詞條正是那整個世界的預告。