非退化型

一個雙線性型稱為非退化的，若唯一與一切都正交的向量是零向量——它的根基平凡。從正面說：對每個非零 v 都存在某個 w 使 B(v, w) != 0，所以型總能透過某個測試搭檔「感知」到一個非零向量。內積是黃金範例，因為 B(v, v) > 0 已能察覺每個非零 v。

矩陣檢驗立竿見影：B 非退化當且僅當其矩陣可逆，當且僅當 det(B) != 0，當且僅當 rank(B) = n。所以非退化之於型，正如可逆之於算子——是「無所失、無所塌縮為零」的條件。相反，退化型有一個它看不見的核方向。

非退化之所以深刻要緊，是因為它在 V 與其對偶空間 V* 之間建立一個同構。每個向量 v 給出一個泛函 w -> B(v, w)；非退化說明這個對應 v -> B(v, -) 是單射，而在有限維中單射加維數相等就意味著它是同構 V -> V*。所以非退化型恰是把向量與餘向量典範等同起來的那份額外結構。

這是張量分析與相對論中「升降指標」的抽象核心，也是內積空間裡 Riesz 表示思想的核心。沒有非退化型，V 與 V* 僅是大小相同卻不被自然等同；有了它，二者便成為同一對象的兩面。非退化是進入這一等同的入場券。