埃爾米特型

埃爾米特型是在複數上做二次幾何的正確方式。它是半雙線性的——對一個變量線性、對另一個變量共軛線性——且共軛對稱：H(u, v) = H(v, u) 的共軛。標準複內積 sum x_i 乘 y_i 的共軛就是其原型。正是共軛挽救了正性：沒有它的樸素複「點積」不會給出實的、非負的長度。

共軛對稱自帶一份回報：H(v, v) 永遠是實數，儘管 H 一般取複值，因為 H(v,v) 等於它自身的共軛。這正是你要的，好讓 ||v||^2 = H(v, v) 成為一個合理的（實的）平方長度。用矩陣語言說，埃爾米特型為 H(u, v) = u^* A v，其中 A 是埃爾米特矩陣，A^* = A（共軛轉置等於自身），其對角元自動為實。

埃爾米特型有自己的一套慣性定律，是西爾維斯特定律的忠實翻版。埃爾米特矩陣合同於（現在經 A -> P^* A P）一個由 +1、-1、0 構成的對角陣，且計數 (p, q, z) 不變。所以「符號差」與「定性」原封不動地移植到複情形，而埃爾米特矩陣正定，恰當其所有特徵值——必然為實——都為正時。

可把埃爾米特視為對稱的複表親：對稱 : 實數 :: 埃爾米特 : 複數。譜定理升級為「每個埃爾米特矩陣都可酉對角化且特徵值為實」，主軸定理使用酉換基，而 Vol I 的內積、範數、正性機器悉數重現，只是在恰當處插入了共軛。它是量子力學的基礎，那裡可觀測量是埃爾米特算子。