定性

定性問的是關於二次型最簡單的問題：當 v 取遍非零向量時，Q(v) 取什麼符號？正定指對每個非零 v 都有 Q(v) > 0（型是真正的「平方長度」）；負定指總有 Q(v) < 0；不定指 Q 取兩種符號。碗、倒扣的碗、馬鞍，就是要隨身攜帶的三幅圖像。

中間還有兩個更溫和的情形。半正定指對所有 v 有 Q(v) >= 0，允許在某個子空間上取零；半負定是其鏡像。半定是臨界的邊界情形：型在某整個方向上觸底為零卻不再下探——恰是優化中退化臨界點的情形。

用符號差 (p, q, z) 來說，對照精確：正定是 (n, 0, 0)；負定是 (0, n, 0)；半正定是 q = 0 的 (p, 0, z)；只要 p > 0 且 q > 0 就是不定。等價地，定性可直接從對稱矩陣特徵值的符號讀出：全正、全負、混合，或含若干零。

正是這個概念讓二次型在微積分與優化中有用。函數的 Hessian 是一個對稱矩陣；它在臨界點的定性告訴你是極小（正定）、極大（負定）還是鞍點（不定）。半定情形是無法定論的那種，二階導數檢驗失效，你必須再深究。西爾維斯特判據為正定情形給出一個行列式檢驗。