西爾維斯特判據

西爾維斯特判據是一個判定正定的快速行列式檢驗：實對稱矩陣 B 正定當且僅當它所有的順序主子式都嚴格為正。k 階順序主子式是 B 左上角 k 乘 k 子塊的行列式，所以你依次檢驗 1x1 角、2x2 角，直到完整的 n 乘 n 行列式——而它們必須全部為正。

其魅力在於你完全不必計算特徵值。特徵值要求解根；順序主子式只需 n 個行列式，且有漂亮的遞推（這些行列式與對稱高斯消元的主元相關，那些主元也都必須為正）。當你必須手算證明正定、或在程式中快速判定時，它是主力檢驗。

兩條警告讓人不致出錯。其一，此檢驗只判正定；要判負定，對 -B 施用，這會使 B 的順序主子式從負號開始正負交替。其二——著名的陷阱——檢驗主子式不能推廣到半定情形。一個矩陣可以所有順序主子式 >= 0 卻仍非半正定；標準反例是 [0, 0; 0, -1]，其順序主子式為 0 與 0，卻並非半定。

正確的半定版本使用全部主子式，而非僅僅順序（左上嵌套）的那些：B 半正定當且僅當每個主子式——任意對稱地選取行與列後所得子塊的行列式——都非負。這工作量大得多，這正是為何乾淨的順序主子式捷徑只保留給嚴格正定情形。