算子範數

如果一個有界算子拉伸向量，算子範數記錄的就是它最壞情形下的拉伸——它曾施加過的最大放大。它回答：在所有輸入方向上，這個算子最多能把一個長度放大多少？這個最壞情形恰好在算子有界時是一個有限數，並賦予整個算子空間自己的幾何。

精確地說：對從 X 到 Y 的有界算子 T，算子範數為 ||T|| = sup（取遍 x != 0）of ||T x|| / ||x||，等價地是 ||T x|| 在所有單位向量 ||x|| = 1 上的上確界。它是 ||T x|| <= C ||x|| 中可用的最小 C。三條性質使它成為真正的範數乃至更多：它是範數，它滿足次乘性（||S T|| <= ||S|| ||T||），且 ||I|| = 1。

為什麼它在結構上重要：在這個範數下，從一個賦範空間到一個巴拿赫空間的有界算子本身構成一個巴拿赫空間。單個希爾伯特空間 H 上的有界算子在複合下構成一個巴拿赫代數，再配上伴隨運算，它們成為一個 C* 代數，滿足那條引人注目的恆等式 ||T^* T|| = ||T||^2。該恆等式把算子的代數與它們的範數緊緊綁在一起，是現代譜理論的基石。

一個要分清的警告：算子範數（也叫一致範數）只是算子上若干有用範數之一——其他還有跡範數和希爾伯特-施密特範數。按算子範數的收斂是強的；許多自然的算子序列在較弱意義下（強、弱）收斂卻不按算子範數收斂。務必弄清指的是算子上的哪種拓撲。