有界算子的伴隨

伴隨推廣了矩陣的共軛轉置，但它的定義從不需要選坐標——完全通過內積給出。伴隨 T^* 是讓你把 T 從內積的一側搬到另一側的算子。它是分類算子最重要的構造，因為熟悉的有限維家族（自伴、酉、正規）原封不動地搬了過來。

精確地說：對希爾伯特空間 H 上的有界算子 T，伴隨 T^* 是滿足對所有 x, y in H 都有 <T x, y> = <x, T^* y> 的唯一有界算子。它的存在與唯一性由里斯表示定理保證。關鍵性質：(S T)^* = T^* S^*、(T^*)^* = T、||T^*|| = ||T||，以及 C* 恆等式 ||T^* T|| = ||T||^2。

為什麼有限維的詞彙存活下來：當 T^* = T 時 T 是自伴的（對稱或厄米矩陣的類比）；當 T^* T = T T^* = I 時 T 是酉的（正交或酉矩陣的類比，一個保內積的雙射）；當 T^* T = T T^* 時 T 是正規的（與其伴隨交換）。這些類恰好擁有你所期望的譜性質：自伴算子的譜為實，酉算子的譜落在單位圓上。

一個留待以後的微妙之處：對有界算子一切都乾淨利落。對無界算子，伴隨要精細得多——必須確定它的定義域，而自伴性成為比單純對稱嚴格更強的條件。但在有界的世界裡，伴隨的行為恰如你早已信任的共軛轉置。