里斯表示（希爾伯特）

線性泛函是一條規則，它取一個向量、線性地返回一個數。在 R^n 中，每條這樣的規則不過是與某個固定向量做點積——那個向量就是它的梯度。里斯表示定理說，無論維數多麼無窮，這在任何希爾伯特空間中都精確成立：每個連續線性泛函暗地裡都是與某個固定向量的內積。沒有更一般的東西潛伏其中。

精確地說：設 H 是希爾伯特空間，phi 是 H 上的有界（連續）線性泛函。則存在唯一的向量 y in H，使得對所有 x 都有 phi(x) = <x, y>，而且這個泛函的範數等於 ||y||。映射 phi -> y 是從對偶空間到 H 自身的雙射，它是共軛線性且保範數的。

為什麼如此意義重大：它把希爾伯特空間的對偶等同於空間自身。一般的巴拿赫空間與它的對偶可以是大不相同的對象，而希爾伯特空間在一個共軛的意義下就是它自己的對偶——希爾伯特空間以最強的方式自反。這種自對偶正是希爾伯特空間幾何如此對稱、比一般巴拿赫空間理論容易得多的原因。

為什麼它驅動其餘的算子理論：里斯表示正是讓你定義伴隨 T^* 的工具——你把它用在泛函 x -> <T x, y> 上，從而造出向量 T^* y。它還支撐微分方程的弱形式（拉克斯-米爾格拉姆），以及現代機器學習中所用的整套再生核希爾伯特空間機制。