有界算子

在有限維中，每個線性映射都自動連續，所以你從不需要想這件事。無窮維打破了這份饋贈：一個線性算子可以把某些方向拉伸得比別的方向多無窮倍，從而把連續性撕碎。有界算子就是不會這麼幹的算子——無論你餵給它哪個向量，它對長度的放大至多是一個固定倍數。對賦範空間之間表現良好的線性映射來說，「有界」是恰當的詞。

精確地說：賦範空間之間從 X 到 Y 的線性算子 T 是有界的，若存在常數 C 使得對所有 x 都有 ||T x|| <= C ||x||。最小的這樣的 C 就是算子範數 ||T||。根本的事實是：對線性算子而言，有界、連續、在 0 處連續三者等價——單單一條不等式就控制了整個映射。所以有界恰好就是連續，只是用定量方式表述。

為什麼這是無窮維中正確的映射概念：無界線性算子存在且無處不在（微分是頭號例子），但它們不可能連續，無法以任何可用方式定義在整個空間上，且行為狂野。把注意力限制在有界算子上，便恢復了一套乾淨的理論。從 X 到 Y 的有界算子的集合本身就是賦範空間，而當 Y 完備時它是巴拿赫空間。

一個提醒：不要把有界算子和有界函數混為一談。有界算子作為函數幾乎從不有界——餵給它更大的向量，||T x|| 就無限增長。這裡的「有界」指比值 ||T x|| / ||x|| 保持有界，即算子有一個有限的放大係數。