巴拿赫空間

希爾伯特空間給你角度；巴拿赫空間放棄了角度，卻保留了最本質的東西——一種可用的大小概念，永遠不讓序列漂出空間的邊緣。它是一個完備的賦範向量空間。你能度量 ||v||，能做加法和數乘，而任何各項彼此擠得任意近的序列（柯西序列）都保證收斂到空間中真實存在的一點。

精確地說：巴拿赫空間是帶範數 ||.|| 的向量空間 X，範數滿足 ||v|| >= 0 且僅在 0 處取等、||c v|| = |c| ||v||，以及三角不等式 ||u + v|| <= ||u|| + ||v||——並且在度量 d(u,v) = ||u - v|| 下完備。這裡沒有內積，所以沒有 <u,v>，沒有自動的垂直概念，平行四邊形法則也不一定成立。活下來的，是一切只用範數就能表述的東西。

為什麼要費力去掉內積？因為分析學家關心的大多數空間根本沒有自然的內積。帶上確界範數的連續函數空間 C[a,b]、當 p != 2 時的序列空間 ell^p、當 p != 2 時的勒貝格空間 L^p——全是巴拿赫空間，沒有一個是希爾伯特空間。泛函分析的幾大定理（哈恩-巴拿赫、開映射、閉圖像、一致有界）恰好就活在這個一般性層次上，需要完備性而不需要正交性。

與希爾伯特的關係：每個希爾伯特空間都是巴拿赫空間（忘掉內積，保留它的範數），但反之不然。一個巴拿赫空間恰好在它的範數滿足平行四邊形法則時才是希爾伯特型的——那條恆等式就是「內積在暗中生成了這個範數」的指紋。