L^2 與 ell^2 空間

這些是希爾伯特空間的範本——R^n 的無窮維表親，是每條抽象定理心裡暗暗想著的那一個。ell^2 是平方相加為有限值的無窮序列 (x_1, x_2, x_3, ...) 所組成的空間。L^2 是平方模有有限積分的函數 f 所組成的空間。兩者都自帶一個內積，它就是為無窮多個分量寫出來、再求和或求積分的點積。

精確地說：ell^2 由滿足 sum |x_n|^2 < infinity 的序列組成，內積為 <x,y> = sum x_n conj(y_n)。L^2(E) 由 |f|^2 積分有限的可測函數（的等價類）組成，內積為 <f,g> = integral of f conj(g)。這條有限性條件，經由柯西-施瓦茨，正是使 <.,.> 有定義的原因。兩者都完備——這對 L^2 而言就是深刻的里斯-費舍爾定理——所以兩者都是貨真價實的希爾伯特空間。

為什麼它們是範本：每個可分的無窮維希爾伯特空間都等距同構於 ell^2。取一個完備標準正交系，把每個向量送到它的係數序列，你就恰好落在 ell^2 中且範數不變（帕塞瓦爾）。所以 ell^2 不只是個例子——在重新貼標籤的意義下，它是唯一的可分無窮維希爾伯特空間。L^2 則是傅立葉分析、信號處理、機率論（L^2 隨機變量）以及量子力學態空間的自然舞台。

一個值得尊重的微妙之處：L^2 的元素其實不是函數，而是除一個測度為零的集合外彼此相等的等價類。兩個僅在單點、或僅在有理數上不同的函數，是 L^2 中的同一個元素。這是完備性的代價——逐點的取值沒有意義，只有積分量才有意義。