完備標準正交系

在 R^n 中，你沿一組標準正交基展開任意向量：v = sum <v,e_k> e_k。完備標準正交系就是它的無窮維版本，是傅立葉級數背後的引擎。你有無窮多個兩兩垂直的單位向量，而空間中任意向量都是它對這些向量的展開式的極限。關鍵就在「完備」二字——你需要足夠多的它們，使得沒有任何非零向量同時垂直於全部。

精確地說：希爾伯特空間 H 中的一族 (e_k) 是標準正交的，若當 j = k 時 <e_j, e_k> 為 1、否則為 0。它是完備（或極大）的，當且僅當唯一垂直於每個 e_k 的向量是零向量。等價地，H 中每個 v 都等於 sum <v,e_k> e_k，該級數按範數收斂。數 <v,e_k> 是廣義傅立葉係數，它們完全刻畫了 v。

為什麼完備性才是要害：貝塞爾不等式對任何標準正交族總給出 sum |<v,e_k>|^2 <= ||v||^2。系統恰好在對每個 v 都取等時才完備——那就是帕塞瓦爾恆等式 sum |<v,e_k>|^2 = ||v||^2。帕塞瓦爾說展開不損失任何能量；係數序列承載了向量的全部範數。這正是使係數映射成為到 ell^2 的等距映射的原因。

關於「基」一詞的一個警告：完備標準正交系不是哈梅爾（代數）基。向量是有限組合的無窮極限，而不是有限組合本身。無窮維希爾伯特空間的展開活在拓撲中——按範數收斂——而不在純代數中。每個可分希爾伯特空間都有一個可數的完備標準正交系，可由任一稠密序列經施密特正交化造出。