貝塞爾不等式

設 e_1, e_2, ... 是一個標準正交系（各為單位向量，兩兩垂直）。數 <v, e_k> 是 v 沿各方向的座標——它的傅立葉係數。貝塞爾不等式說這些座標絕不會超出向量本身：sum_k |<v, e_k>|^2 <= ||v||^2。

證明是畢氏定理的一行。令 p = sum_k <v, e_k> e_k 為 v 在該系張成空間上的投影。則 v = p + (v - p)，且 v - p 正交於 p，故 ||v||^2 = ||p||^2 + ||v - p||^2 >= ||p||^2 = sum |<v, e_k>|^2。差距恰是未被表示的剩餘的平方長度。

等號 sum_k |<v, e_k>|^2 = ||v||^2 恰在剩餘消失時成立——即標準正交系完備（是標準正交基）從而捕獲了 v 的全部。這一收緊的等號便是帕塞瓦爾恆等式，它說沒有能量洩漏到座標方向之外。

這是傅立葉分析的主力：它保證傅立葉係數平方的無窮和收斂（受 ||v||^2 控制），這是讓無窮維展開嚴格化的第一步。貝塞爾給出界；帕塞瓦爾在完備性下達到這個界。