柯西-施瓦茨不等式

線性代數中使用最頻繁的不等式斷言：兩向量的內積絕不超過它們長度之積：|<u,v>| <= ||u|| ||v||。從幾何上看它不過是 |cos(夾角)| <= 1，但它在任何內積空間中都成立——包括沒有圖像可依的無窮維函數空間。

乾淨的證明無需座標。若 v = 0，兩邊皆為 0。否則令 w = u - (<u,v>/<v,v>) v，即 u 中正交於 v 的部分。展開 0 <= <w,w> 並化簡，恰好得到 ||u||^2 ||v||^2 >= |<u,v>|^2。開平方即證畢。訣竅在於減去投影後，剩下的東西自內積非負。

等號成立當且僅當 u 與 v 平行（線性相關）。這正是殘差 w 為零——u 完全等於它在過 v 的直線上的投影，毫無剩餘。

它的影響極廣：它證明三角不等式（從而 ||.|| 確為範數），它支撐抽象空間中角度的定義，在機率論中它化為共變異數與標準差之積之間的界。掌握這個證明，十幾個其他結論便隨之而來。