平行四邊形法則

在以 u、v 為鄰邊的平行四邊形中，兩條對角線為 u + v 與 u - v。該法則說：對角線平方之和等於四條邊平方之和：||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2 ||u||^2 + 2 ||v||^2。它是畢氏定理對稱的表親。

它在每個內積空間中都成立——只需用 <u + v, u + v> 展開兩個平方，看交叉項相消即可。但更深刻的事實方向相反：一個範數滿足平行四邊形法則當且僅當它源自某個內積。這便是若爾當-馮·諾依曼定理。

這就把一個抽象問題——哪些範數暗中是內積範數？——化為一項你能動手檢驗的具體測試。計程車範數 ||x||_1 與最大值範數 ||x||_inf 都通不過它（取 u = (1,0)、v = (0,1) 驗證即可），故二者皆不來自任何內積，無論多麼巧妙。

一旦確認某範數通過了檢驗，極化恆等式便僅憑範數本身把內積顯式交還給你。這兩條定律是配對的：平行四邊形負責檢測，極化負責重建。