極化恆等式

範數似乎遺忘了方向——它只看得見長度。極化恆等式是驚人的逆轉：在內積空間中，你能僅憑長度重建完整的內積，連同角度在內。從 <-,-> 走到 ||.|| 時，其實什麼也沒丟失。

在實數情形它寫作 <u,v> = (||u + v||^2 - ||u - v||^2) / 4。用內積展開兩個範數，對角項相消，剩下 4 <u,v>。複數情形需要更多：你還須用 i 來探測，得 <u,v> = (1/4) sum_{k=0..3} i^k ||u + i^k v||^2，即所謂四項公式。

複數公式更長的原因是共軛線性。範數的單個實組合無法分離 <u,v> 的實部與虛部；把 v 依次旋轉 i、-1、-i 並以 i 的冪加權，才能將它們解開。

概念上這是平行四邊形法則的搭檔。平行四邊形告訴你範數何時源自內積；極化告訴你如何把那個內積找回來。兩者合起來表明：範數與內積攜帶完全相同的資訊。