無界算子

物理學中最重要的算子——微分、量子力學的動量與能量算子——都不是有界的，也無法被改造成有界的。對一個函數求導可以無限地放大它：在 d/dx 之下，高頻抖動變得越來越陡，比值 ||T f|| / ||f|| 沒有上限。無界算子就是沒有有限算子範數的算子。你付出的代價是：它無法定義在整個空間上；你必須追蹤它的定義域。

精確地說：希爾伯特空間 H 上的無界算子 T 是定義在定義域 D(T) 上的線性映射，D(T) 是 H 的稠密線性子空間，且沒有常數 C 能界住 ||T x|| <= C ||x||。定義域的稠密性是本質的——正是它使伴隨得以定義。這類算子通常是閉的（其圖像是閉的）而非連續的，閉性是這一情形下有界性的恰當替代。

為什麼定義域不是技術細節：同一個公式但不同定義域給出的兩個算子，是真正不同的算子，有不同的譜與不同的伴隨。d/dx 是否自伴，完全取決於烘焙進其定義域的邊界條件。對無界算子，自伴（T^* = T，包括定義域相等）嚴格強於對稱（在定義域上 <T x, y> = <x, T y>），而只有自伴的算子才生成量子力學的酉時間演化。

為什麼重要：斯通定理和譜定理都推廣到無界自伴算子，這恰是量子力學所需——位置、動量、哈密頓算子都是無界且自伴的，它們的實譜就是可能的測量值。嚴格地處理它們，正是定義域、閉性與自伴性被如此認真對待的原因。