譜（無窮維）

在有限維中，特徵值是任何使 T - lambda I 不可逆的 lambda，而不可逆恰好意味著存在特徵向量。在無窮維中這兩件事分了家。譜保留了正確的定義——它是使 T - lambda I 不可逆的 lambda 的集合——但如今不可逆的原因可以與是否存在特徵向量毫無關係。譜確實比特徵值集合更豐富。

精確地說：對巴拿赫空間上的有界算子 T，譜 sigma(T) 是使 T - lambda I 沒有有界逆的複數 lambda 的集合。它的補集即預解集，是 (T - lambda I)^-1 存在且有界之處。譜總是複平面中非空的緊子集，且落在圓盤 |lambda| <= ||T|| 內。與矩陣不同，一個算子未必有任何一個特徵值，然而它的譜絕不為空。

為什麼不可逆可以沒有特徵向量：T - lambda I 可能是單射的（沒有特徵向量）卻不滿射，或其值域稠密但不閉，於是其逆只在一個真子集或非閉子集上存在且無界。這些失效在有限維中看不見，因為那裡單射迫使滿射。它們正是譜分裂為點譜、連續譜與剩餘譜三部分的原因。

為什麼重要：譜是特徵值列表真正的無窮維替代品。它控制穩定性、算子冪級數與求逆的諾伊曼級數的收斂，以及函數演算 f(T)。譜半徑 sup{|lambda| : lambda in sigma(T)} 等於 lim ||T^n||^(1/n)，把譜的幾何與算子各次冪的增長聯繫起來。