點譜/連續譜/剩餘譜

在有限維中，T - lambda I 要麼可逆要麼不可逆，而「不可逆」意味著存在特徵向量——一種乾淨的失效方式。在無窮維中，T - lambda I 不可逆有三種不同方式，它們把譜切成三個有名字的部分。其中只有一個，即點譜，對應真正的特徵值；另外兩個是沒有有限維影子的新現象。

精確地說，lambda 落在譜中並恰好歸入某一部分。點譜：T - lambda I 不是單射，因而存在真正的特徵向量——這就是特徵值。連續譜：T - lambda I 是單射且值域稠密，但值域不是整個空間，逆無界。剩餘譜：T - lambda I 是單射，但其值域甚至不稠密。這三部分合起來窮盡了譜。

每部分的感覺：點譜是熟悉的特徵值情形，你能用非零的 v 解 T v = lambda v。連續譜是「近似特徵值」情形——存在近似特徵向量，即滿足 ||(T - lambda I) u_n|| -> 0 的單位向量 u_n，卻沒有精確的特徵向量。剩餘譜標誌一種不對稱，它常常在過渡到伴隨算子時消失，在那裡往往以點譜的形式出現。

為什麼這個分類重要：它解釋了一個算子如何能有很大的譜卻根本沒有特徵值。對自伴算子和正規算子，剩餘譜為空且譜為實——這正是量子可觀測量表現良好的原因：它們的連續譜刻畫散射態，而它們的點譜給出具有銳利能級的束縛態。