緊算子

在無窮維空間的所有算子中，緊算子是最像普通矩陣的那一類。一個有限秩矩陣把一切擠進一個有限維的像裡，那裡有界集很好地是緊的。緊算子幾乎做同樣的事：它把任意有界集壓成閉包為緊的東西。它是「幾乎有限秩」這句話的無窮維說法。

精確地說：巴拿赫空間上的有界算子 T 是緊的，若單位球的像具有緊閉包——等價地，每個有界序列 (x_n) 都有一個子列使 (T x_n) 收斂。在希爾伯特空間上，緊算子恰好是有限秩算子的範數極限，所以一個緊算子可以被作用在有限維片段上的真矩陣任意好地逼近。

為什麼它們如此重要：緊性正是拯救你在有限維所知的特徵值理論的東西。對一個緊自伴算子，你會得到一個可數的實特徵值集合，它們只能在 0 處聚集，並帶有一組標準正交特徵基——這是譜定理最乾淨的無窮維形式。帶連續核的積分算子是緊的，這就是為什麼緊算子在積分方程和弗雷德霍姆擇一定理中處於中心地位。

一個尖銳的警告：無窮維空間上的恆等算子絕不是緊的，因為那裡的單位球不是緊的（它的閉包不緊）。所以一般的有界算子可以徹底地不像矩陣——緊性是一個強而特殊的假設，大多數表現良好的譜結果都需要它。