極小多項式與特徵多項式
冪零指數
若算子 N 的某個冪為零，則稱 N 冪零。冪零指數是使 N^k = 0 成立（而 N^(k-1) 仍非零）的最小正整數 k。它度量你必須施加 N 多少次才能把一切壓垮為零——冪零的深度。
指數與極小多項式直接相連。對冪零算子，唯一的特徵值是 0，極小多項式恰為 x^k，其次數 k 即指數。所以「求指數」與「求冪零算子的極小多項式」是同一項任務。對一般算子，特徵值 lambda 的指數是使 (T - lambda I)^k 在廣義特徵子空間上為零的最小 k——即極小多項式中 (x - lambda) 的指數。
幾何上指數是該特徵值的最大約當塊的大小。由大小為 4, 2, 1 的約當塊構成的冪零算子，其指數為 4：最長的鏈需要施加四次才消亡。這正是為何極小多項式記錄最大塊的大小、而特徵多項式記錄總大小——指數是代數與塊幾何之間的橋樑。
實用上指數控制著許多事。它限定了計算廣義特徵子空間時你必須走多高（到指數為止即停），它等於最長約當鏈的長度，且它恰是核 ker(T - lambda I)^j 停止增長的閾值。知道它就告訴你算子在 lambda 處最壞情形的「剪切深度」。
N = [0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0] (single Jordan block, size 3)
N^2 = [0, 0, 1; 0, 0, 0; 0, 0, 0] != 0, N^3 = 0
index = 3, min poly = x^3
一個大小為 3 的冪零塊指數為 3：要施加三次才到達零，極小多項式為 x^3。
指數至多等於代數重數（最大塊 <= 總大小），且至多為 dim V。算子在 lambda 處可對角化當且僅當那裡的指數為 1——lambda 處每個約當塊的大小都是一。
又稱
另見