特徵多項式係數與冪和

直接展開 det(xI - A) 既昂貴又笨拙。有一條更乾淨的路通向特徵多項式的係數，它只用到冪 A, A^2, A^3 等的跡。連接的機制是牛頓恆等式，它把特徵值的初等對稱函數（即特徵多項式的係數，至多差個符號）與它們的冪和（即冪的跡）聯繫起來。

令 p_j = tr(A^j) = sum lambda_i^j，即特徵值的第 j 個冪和，並令 e_j 為第 j 個初等對稱函數，於是 chi(x) = x^n - e_1 x^(n-1) + e_2 x^(n-2) - ... 直到 (-1)^n e_n。牛頓恆等式給出一個遞迴：e_1 = p_1，然後 k e_k = e_(k-1) p_1 - e_(k-2) p_2 + ... 直到 (-1)^(k-1) p_k。知道跡 p_1, ..., p_n 便逐個交給你全部係數 e_1, ..., e_n。

關鍵是你計算 tr(A^j) 時根本無需找出特徵值：只需取矩陣冪並求對角線之和。於是整個特徵多項式從跡的算術中浮現，既繞開了求特徵值，也繞開了行列式的置換求和展開。法捷耶夫-勒維耶演算法正是把這個想法封裝成一個優雅的迴圈，它順帶還產生伴隨矩陣與逆。

它為何重要：它揭示特徵多項式的係數是譜的對稱函數，它給出一條適合符號計算的、無需行列式的計算路徑，並使諸如「特徵值之和 = 跡」「特徵值之積 = 行列式」這類恆等式變得透明——它們是同一族中的首項與末項。冪和與係數是同一個譜的兩種編碼。