線性不交擴張

一個域的兩個擴張稱為線性不交的，當它們除基域之外不共享任何隱藏的代數關係——它們是「獨立的方向」。於是把它們合併既不損失什麼也不重複什麼：維數直接相乘，正如獨立向量空間之積的維數是各維數之積。

形式地說，設 L 與 M 是 K 的兩個擴張，位於一個公共域內。稱它們在 K 上線性不交，若 L 的任一 K-基在 M 上仍線性無關（等價地，自然映射 L tensor_K M -> LM 是單射，從而把張量積與合成域等同）。對有限擴張，一個乾淨的推論是次數公式 [LM : K] = [L : K] 乘以 [M : K]；事實上，在適當的可分性假設下，對有限擴張而言線性不交等價於次數恰好相乘。

一個有用的充分條件：若 L/K 是伽羅瓦的，M/K 是同一閉包內的任意擴張，則 L 與 M 在 K 上線性不交當且僅當 L cap M = K，此時 Gal(LM/M) 通過限制同構於 Gal(L/K)。需注意：對一般（非伽羅瓦）擴張，僅有 L cap M = K 不足以迫使線性不交——立方根的例子（兩個非伽羅瓦的三次域可在 Q 中相交卻無法乾淨地相乘次數）是標準的告誡。