逆伽羅瓦問題

伽羅瓦理論從每個多項式中交給你一個群。逆伽羅瓦問題把箭頭反轉過來，問道：從一個抽象有限群出發，是否總能找到有理數上的某個多項式，其對稱恰好就是那個群？令人驚訝的是，儘管經過了一個半世紀的努力，沒有人知道答案是否總是肯定的。

精確陳述：逆伽羅瓦問題問，是否每個有限群 G 都作為有理數的某個有限伽羅瓦擴張 L 的伽羅瓦群 Gal(L/Q) 出現。這一問題一般而言尚未解決。已知它對許多類群有肯定答案：所有可解群（沙法列維奇定理）、所有對稱群與交錯群，以及 26 個零散單群中的 25 個（寫作之時著名的例外是馬蒂厄群 M_23）。

一個主要工具是剛性以及赫爾維茨空間理論：先在函數域 Q(t) 上實現 G，再令 t 特殊化（常藉助希爾伯特不可約性定理）以下降到 Q。需要小心——在其他基域上的類似問題表現可能大不相同；例如在有理函數域 C(t) 上每個有限群都是伽羅瓦群，所以真正的困難在於 Q 的算術，而非單純的群論。