零化子對偶定理

零化子對偶定理是說，取兩次零化子會回到出發點：對有限維 V 的子空間 U，有 (U^0)^0 = U——只要把第二個零化子放在典範等同 V = (V*)* 之內來讀。先零化、再零化，就是子空間上的恒等。

它依賴兩個事實。其一，把維數計數 dim U + dim U^0 = dim V 用兩次，得 dim (U^0)^0 = dim U。其二，U 總是包含在 (U^0)^0 之中（U 裡的任何元素都被一切殺死 U 的東西所殺死）。維數相等再加這一個包含，便迫使相等，於是恰有 (U^0)^0 = U。

從結構上讀，映射 U -> U^0 是 V 的子空間與 V* 的子空間之間一個反序的雙射，且它是自己的逆。若 U 含於 W，則 W^0 含於 U^0；這個對應翻轉包含關係，並在兩個方向上都完美無缺。這帶有伽羅瓦聯絡的味道：一對反序映射，複合起來即恒等。

在實用上這意味著子空間資訊在對偶世界裡毫無損失：你既可以列出張成它的向量來指定一個子空間，也可以列出切出它的約束（泛函）來指定它，而雙重零化子定理保證這兩種描述等價、且能彼此還原。這一等價正是在子空間的張成描述與方程描述之間往返的脊梁。