商空間的對偶

在取對偶下，商與子空間互換位置，而商空間的對偶是最乾淨的例子。商空間 V/U 把子空間 U 壓成零；因此 V/U 上的泛函恰是 V 上一開始就「看不見 U」的泛函——也就是在 U 上取零的那些。於是 (V/U)* 自然地等同於零化子 U^0。

其緣由是商的泛性質。V/U 上的泛函 g 對應於 V 上滿足對所有 u in U 有 f(u) = 0 的泛函 f（f 經由商分解）。把 g 與那個 f 配對是一個尊重加法與縮放的雙射，故為同構 (V/U)* = U^0。無需任何基；它是典範的。

子空間也有一個對偶搭檔：子空間 U 的對偶是 V*/U^0，即 U* = V*/U^0。把泛函限制到 U 上是滿射，其核恰是 U^0，於是第一同構定理給出 U* = V* / U^0。所以對偶互換了「子」與「商」：商的對偶是（對偶的）子空間，子的對偶是商空間。

計數印證了這幅圖景：dim(V/U) = dim V - dim U 與 dim U^0 = dim V - dim U 一致，對同構而言本就該如此。這種子-商互換是本主題中最有用的結構性反射之一——每當某個構造作商時，就預期它的對偶會限制到一個子空間，反之亦然。