對偶霍普夫代數

霍普夫代數的結構映射在「代數」箭頭與「餘代數」箭頭之間均分，而對偶化——把每個線性映射反轉——在保持整體形狀的同時交換這兩半。因此霍普夫代數的對偶仍是霍普夫代數，乘法與餘乘法互換位置。這種完美對稱是該理論最優雅的特徵之一，也是「群上的函數」與「群代數」之間對偶的根基。

對有限維霍普夫代數 H，線性對偶 H* = Hom(H, k) 是霍普夫代數，其乘法對偶於 Δ_H，餘乘法對偶於 m_H，單位對偶於 ε_H，餘單位對偶於 u_H，對極 S_{H*} = (S_H)*。配對 ⟨f g, h⟩ = Σ f(h(1)) g(h(2)) 與 ⟨Δ(f), h ⊗ h'⟩ = f(h h') 把這點明確化。在無限維中以受限（霍普夫）對偶 H° 替代 H*，即對偶結構能閉合的最大子空間。

兩個原型互相對偶：有限群的群代數 k[G] 與 G 上函數的函數代數 k^G 是對偶霍普夫代數。餘交換一側（k[G]）對偶為交換一側（k^G），反之亦然。對量子群，此對偶把形變坐標代數 O_q(G) 與形變包絡代數 U_q(g) 配對，故研究其一即研究其二。