可作圖數

古希臘人只用兩件工具構築幾何：一把無刻度的直尺和一副圓規。從相距一個單位的兩點出發，你可以畫直線與圓、標出它們的交點，從而造出新的點。可作圖數就是你能藉此達到的任何長度。令人驚訝的是，這個純幾何遊戲竟有一個精確的代數刻畫，而這個刻畫解決了希臘人無法解決的著名難題。

確切地說，一個實數可作圖，當且僅當它能由有理數經過有限次加、減、乘、除與開平方得到——因為直線與圓的相交只解線性與二次方程。從代數上說，a 可作圖當且僅當它落在一座塔 Q = K_0 包含 K_1 包含 ... 包含 K_n 頂端的體中，且每個 [K_{i+1} : K_i] = 2。特別地，每個可作圖數在 Q 上都是次數為 2 的某次冪的代數數。

這個次數障礙立刻解決了三個古典的不可能性。倍立方需要 2^(1/3)，次數為 3，不是 2 的冪。三等分一般角需要一個不可約三次式的根。化圓為方需要 pi，它超越，因而根本不是代數數。正 n 邊形的可作圖性（高斯-萬策爾定理）歸結為相應的分圓次數是否為 2 的冪。