零积性质

零积性质是这样一个简单却有力的事实:若干个数的乘积要等于零,唯一的可能是其中至少有一个数本身为零。如果你把几样东西相乘得到 0,那其中必有一个原本就是 0——别无他途。正是这一点,使因式分解成为解方程的得力工具。

精确地说:若 a·b = 0,则 a = 0 或 b = 0(或两者皆为零);这可推广到任意多个因式。当一个方程被写成某乘积等于零时,如 (x - 2)(x + 5) = 0,它的威力就显现了。该性质让你把它拆成两个简单方程 x - 2 = 0 或 x + 5 = 0,得出解 x = 2 与 x = -5。

两点诚实的提醒。其一,它只在乘积等于零时成立——(x - 2)(x + 5) = 7 并不意味着 x - 2 = 7 或 x + 5 = 7,所以你必须先把所有项移到一边并分解。其二,该性质依赖于不存在「零因子」,这对普通的数成立,但在某些特殊系统(如某些模算术)中可能失效。