由因式求根

一旦你把一个方程分解成某乘积等于零,每个因式几乎不费力就送给你一个解。由因式求根,就是令某个因式等于零、解那个小方程而得到的值。这正是因式分解的回报:一个难解的多项式方程坍缩成几个一步即可解决的小问题。

其推理依据是零积性质。若 (x - 2)(x + 5) = 0,则要么 x - 2 = 0,要么 x + 5 = 0,故根为 x = 2 与 x = -5。每个一次因式 (x - r) 都直接对应根 x = r——也就是使该因式为零的那个数。这正是为何已分解的多项式把它的根都摆在明面上。

两点以求精确。像 (x - 3)^2 这样的重复因式给出同一个根两次——即「二重根」——它是一个按重数计为二的单一数值。还有,因式必须等于零,而非其他值:只有当乘积被置为 0 时,每个因式才各自独立地产生一个根。