功积分

在初等物理中，功是力乘以距离——但只有沿你运动方向的那部分力才做功，而且只有当力和路径都不变时才如此。功积分把这一点推广到逐点变化的力和弯曲的路径：它是力沿路径分量的累计，随你在向量场中移动而一步步累加。

如果 F 是力场、路径是 C，所做的功就是向量线积分 W = integral over C of F dot dr。在沿路径的每一微小步 dr 上，贡献是 F dot dr，它自动挑出 F 平行于运动的分量（垂直于你这一步的力做功为零）。把路径参数化为 r(t)，这就变成普通积分 W = integral of F(r(t)) dot r'(t) dt。点积在做物理：它留下推力中帮助你前进的那部分，丢弃只是把你横向推开的那部分。

功积分是向量线积分的物理面孔，也是能量方法的入口。当力场是保守的——某个势的梯度——功只依赖于端点而不依赖于路线，且等于势能的下降；这正是几何化的功能定理。引力与静电力是保守的，所以它们的功积分与路径无关；摩擦力不是，这恰恰是为什么摩擦力耗散的能量依赖于你走过的整条路径。