标量势
有时一个复杂的向量场暗地里不过是一片简单地貌的坡度。标量势就是那片地貌：一个单独的标量场 phi，它的梯度重现了整个向量场。你不必追踪三个分量函数以及它们如何变化，只需携带一个位置的函数，场就由它在每一点最陡下降（或上升）的方向读出来。
具体地说，当 F = grad phi 时，向量场 F 就有一个标量势 phi（物理学家常用约定 F = -grad phi，使力指向较低的势能）。只有保守场才容许有势，且这个势在差一个相加常数的意义下唯一——把 phi 平移一个数并不改变 grad phi，这正是为什么只有势的差、绝不是绝对值，才有物理意义。你通过积分来求 phi：若 F = (P, Q)，则 phi = integral of P dx（把 y 当作常数），再加上一个 y 的修正函数，由匹配 partial phi/partial y 与 Q 来确定。
标量势在物理中无处不在，因为它用单个标量未知量替换了一个向量未知量。静电势（电压）是电场的标量势；引力势是引力场的标量势。先解出势再求导，比直接解出场要容易得多，而且它把场方程化为单个标量偏微分方程——真空中的拉普拉斯方程 nabla^2 phi = 0，有电荷处的泊松方程 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0。
对 F = (y, x)，把 P = y 对 x 积分来猜 phi：phi = x y + g(y)。则 partial phi/partial y = x + g'(y) 必须等于 Q = x，于是 g'(y) = 0，phi = x y（差一个常数），从而验证 F = grad(x y)。
对一个分量积分，再通过匹配另一个来确定剩余函数——还原势的标准配方。
只有保守场（在单连通区域上无旋）才有标量势；旋度非零的场，如磁场，根本没有标量势，而需要一个向量势 A 使 B = curl A。势只在差一个相加常数的意义下被定义，所以势的绝对值没有意义——只有差才有意义。