拉普拉斯方程

把肥皂膜绷在金属丝环上，它会安顿成跨越金属丝的最光滑曲面——没有凸包、没有凹坑，每个内部点都坐在其邻居的平均高度上。把金属板的边缘固定为某些温度并等待：稳态的内部温度做着同样的平均。所有这类平衡场所遵从的方程就是拉普拉斯方程，最重要的椭圆型偏微分方程，也是势论背后的源方程。

它写作 nabla^2 u = 0，其中 nabla^2 是拉普拉斯算子（二维下为 u_xx + u_yy，三维下为 u_xx + u_yy + u_zz）。把它读作这样一句话：在每一点处，各方向曲率之和为零——凡在某方向向上弯曲，就必在另一方向恰好向下弯曲同样的量，所以没有任何点能是严格的局部极大或极小。拉普拉斯方程的解称为调和函数，它们有一个优美的平均值性质——任一点的值等于以它为心的任一球面上诸值的平均。这正是极值原理的确切内容：极值只能出现在边界上。

拉普拉斯方程是物理中稳态、无源的核心：无电荷区域里的静电势、真空中的引力势、无内部源的稳态热、不可压缩无旋流动的速度势，以及任何复变量解析函数的实部与虚部（这正是为什么复分析与二维势问题是同一门学问）。在右端加上一个源就把它变成泊松方程；把源置零，正是让问题成为纯粹平衡问题的原因。