曲线坐标下的拉普拉斯算子

笛卡尔坐标下的拉普拉斯算子 nabla^2 是简单的和 u_xx + u_yy + u_zz，但大多数真实问题并不以方盒子的形式出现。行星是圆的，管道是圆柱，原子大致是球形的，鼓面是圆盘。要用分离变量法，你必须让坐标系与边界对齐，而这意味着把拉普拉斯算子改写到极坐标、柱坐标或球坐标里——在那里它突然长出额外的项，以补偿坐标线的弯曲。

在平面极坐标 (r, theta) 下，拉普拉斯算子变成 nabla^2 u = u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta theta。多出来的 (1/r) u_r 与 1/r^2 因子并非随意——它们是径向线向外扇形展开的代价，使得相等的角度步长在远离原点处覆盖更多地面。柱坐标 (r, theta, z) 只是给极坐标形式加上一个平直的 u_zz。球坐标 (r, theta, phi) 给出更繁复的 nabla^2 u = (1/r^2)(d/dr)(r^2 u_r) + (1/(r^2 sin theta))(d/d theta)(sin theta u_theta) + (1/(r^2 sin^2 theta)) u_phi phi。这些都是一个由坐标系标度因子（每个坐标单位变化对应在空间中移动多远）搭成的一般公式的特例。当你在这些坐标里分离变量时，径向部分不再是简单的正弦或余弦：1/r 与 1/r^2 项把径向常微分方程变成圆柱里的贝塞尔方程、球里的（角向）勒让德方程。

这恰是从初等偏微分方程通向数学物理特殊函数的门户。在圆盘或圆柱上解拉普拉斯方程、热方程或波动方程，会迫使你用上贝塞尔函数；在球上解它们，会迫使你用上勒让德多项式与球谐函数。氢原子、圆鼓的模态、电荷分布的多极展开、天线辐射方向图——所有这些都直接从把拉普拉斯算子写到与几何相符的坐标系中，继承了它们的特征函数。