勒让德方程
/ Legendre: luh-ZHAHND /
当你求解具有球对称性的问题——地球的引力场、带电球周围的电势、量子氢原子——并分离变量时，极角部分总是产生同一个微分方程。勒让德方程（Legendre's equation）就是那个方程：球面上角向依赖的主方程。把它解一次，就知道了一个场在球面上能取的自然“形状”。
它是二阶线性方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0，其中 x 通常代表 cos(theta)，故物理范围为 -1 <= x <= 1，n 是参数。它的奇点恰好位于 x = +1 与 x = -1——北极与南极——且为正则奇点。在 x = 0 处用幂级数求解得到的递推，对一般的 n 会无限延续并在两极发散。补救之道是要求解在两极都有限，这迫使 n 取非负整数；于是级数截断，有限的解就是勒让德多项式 P_n(x)。第二个独立解 Q_n(x) 在两极无界，在包含整个球面的问题中被舍弃。
这就是为什么物理中的多极展开——单极、偶极、四极——是用勒让德多项式搭起来的，也是为什么球谐函数（它们的双角推广）描述了原子轨道、宇宙微波背景和引力大地水准面。值得记住的是其结构性教训：这里的量子化（整数 n）并非人为强加，而是从“解在几何有奇点处须保持有限”这唯一的物理要求中涌现出来的。
取 n = 2：方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + 6 y = 0 有多项式解 P_2(x) = (3x^2 - 1)/2，在 [-1, 1] 上处处有限。其第二解 Q_2 含形如 ln((1+x)/(1-x)) 的对数项，在两极发散，故在全球面问题中被舍去。
要求在两极有限，便选出多项式 P_n 并把 n 量子化。
P_n 是该方程的多项式解；不要把方程等同于多项式。完整解空间是二维的（P_n 与 Q_n）；多项式只是保持有限的那一支，而且只在 n 取特殊整数值时才有。