罗德里格斯公式
/ Rodrigues: ro-DREE-gez /
得到经典正交多项式有好几条路——用级数解方程、展开生成函数、或跑递推。罗德里格斯公式（Rodrigues' formula）提供了第四条，往往是最利落的：它以闭形式把整个多项式作为某个简单表达式的高阶导数交到你手上。无需级数、无需递推——只要求导。
其模式在各族中是统一的。第 n 个多项式 p_n(x) 等于一个常数乘以权函数 w(x) 的倒数，再乘以 (w(x) 乘以某固定函数的 n 次幂) 的 n 阶导数。对勒让德多项式，是优雅的 P_n(x) = 1/(2^n n!) 乘以 (x^2 - 1)^n 的 d^n/dx^n。对埃尔米特多项式，是 H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} 乘以 e^{-x^2} 的 d^n/dx^n；对拉盖尔，L_n(x) = (e^x / n!) 乘以 (x^n e^{-x}) 的 d^n/dx^n。每种情形都是取一个光滑的种子，求导 n 次，一个 n 次多项式便蹦出来。
罗德里格斯公式不止是计算捷径——它使最深刻的性质，即正交性，几乎一目了然。由于该多项式是 n 重导数，把 p_n 与任意更低次多项式相乘求积分，再反复分部积分，会把所有 n 个导数都挪到低次因子上，而它不到 n 步就被微分为零；积分因此为零。所以该公式给出一行证明：在权 w 下，p_n 与每个更低次多项式正交。它是从微分方程通往一个正交族最干净的单一桥梁。
用罗德里格斯公式算 P_2：取 (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1，求导两次得 12x^2 - 4，乘以 1/(2^2 乘以 2!) = 1/8，得 (12x^2 - 4)/8 = (3x^2 - 1)/2 = P_2(x)。同样的配方用 n 次导数就给出每个勒让德多项式。
把 (x^2 - 1)^n 求导 n 次并归一化——P_n 便出来了。
这种干净的“n 阶导数”形态的罗德里格斯公式只对经典族存在（勒让德、埃尔米特、拉盖尔，以及对雅可比的推广版本）。它并非对每一组正交多项式都通用的技巧，而且归一化常数因族而异。