生成函数

整整一族无穷多个多项式——P_0、P_1、P_2 等等——携带起来颇为累赘。生成函数（generating function）把整族打包进一个关于两个变量的整洁函数：把它按一个辅助变量 t 展开成幂级数，t^n 的系数就是该族的第 n 个成员。它是一个主函数，你可以从中按需摇出每一个多项式。

具体地，若函数 G(x, t) 按 t 的泰勒展开为 G(x, t) = sum（n>=0）p_n(x) t^n（有时分母带一个 n!），则它是多项式族 p_n(x) 的生成函数。对勒让德多项式，生成函数是 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) = sum P_n(x) t^n；对埃尔米特多项式，是 e^{2 x t - t^2} = sum H_n(x) t^n/n!。要取回比如 P_2(x)，只需把闭形式展开到 t^2 阶并读出系数。妙处在于：多项式的递推关系、正交性以及特殊值的证明，都可由对这一个紧凑表达式求导或变形而得，而不必周旋于无穷多个分立的恒等式。

这些生成函数并非奇技——它们编码着真实的物理。勒让德生成函数 1/sqrt(1 - 2 x t + t^2) 实际上就是牛顿/库仑势 1/|r - r'| 按距离之比的展开，这正是多极展开能从中直接落下的原因。埃尔米特与拉盖尔的生成函数同样压缩了量子振子与氢原子的结构。简言之，生成函数是一次性记住整个正交族的最经济的单一对象。