勒让德多项式（Legendre polynomials）
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假设你想用简单多项式在区间 负 1 到 1 上逼近一个函数，但希望这些基本构件在平均意义下相互独立——没有重叠，使每一个都捕捉真正新的信息。勒让德多项式恰是这样一组：在区间 负 1 到 1 上正交的最简单多项式族，是球面上函数的天然坐标轴。
它们是 P_0 = 1、P_1 = x、P_2 = (3 x^2 减 1)/2、P_3 = (5 x^3 减 3 x)/2，依此类推，其中 P_n 是 n 次多项式。它们的定义性质是带权 1 的正交性：从 负 1 到 1 对 P_m(x) P_n(x) dx 的积分，当 m 不等于 n 时等于 0。它们可以廉价地生成：罗德里格斯公式 P_n(x) = (1 除以 2^n n!) 乘 (x^2 减 1)^n 的 n 阶导数、三项递推 (n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n 减 n P_{n-1}，或由生成函数得到。每个都按 P_n(1) = 1 归一化。
勒让德多项式是每一个具有球对称的问题的角向部分：引力或静电势的多极展开，实际上就是以极角余弦为自变量的勒让德多项式之和，而组织氢原子和宇宙微波背景的球谐函数也由它们构成。在这里它们被作为一族正交函数编目；它们所满足的微分方程及其在本征函数展开中的作用属于邻近主题。
检验 P_1 = x 与 P_2 = (3 x^2 减 1)/2 的正交性：从 负 1 到 1 对 x 乘 (3 x^2 减 1)/2 dx 的积分 = 0，因为被积函数是奇函数。正是这种互不重叠，让勒让德级数能逐个读出系数。
单位区间上的正交性，是勒让德多项式成为可用展开基的性质。
这些正交多项式不同于连带勒让德函数 P_n^m，也不同于第二类勒让德函数 Q_n；它们同名却是不同的对象。