勒让德级数展开（Legendre series expansion）
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当问题生活在球面上——行星表面的温度、略扁地球的引力场、天线的辐射方向图——天然的构件不是正弦，而是勒让德多项式。勒让德级数展开把区间 [-1, 1] 上的函数（通常是极角的余弦）写成这些多项式之和，正如普通傅里叶级数把周期函数写成正弦余弦之和。
勒让德多项式 P_0, P_1, P_2, ... 是 [-1, 1] 上权 w = 1 的勒让德斯图姆-刘维尔问题的本征函数，且正交：当 m 不等于 n 时 integral from -1 to 1 of P_m P_n dx 为零，当 m = n 时等于 2/(2n+1)。于是 [-1, 1] 上任何平方可积的 f 可展为 f(x) = sum over n of c_n P_n(x)，c_n = ((2n+1)/2) 乘以 integral from -1 to 1 of f(x) P_n(x) dx——每项一次投影，与正弦完全相同，只是换了勒让德的归一化。因为权为 1，积分中不出现额外因子，这使勒让德级数成为最像傅里叶的那种特殊函数展开。
它的故乡是球坐标中的分离变量。求解带电或引力体外的拉普拉斯方程时，你代入 x = cos(theta)，角向部分恰成为勒让德问题；势的多极展开（单极、偶极、四极……）就是伪装的勒让德级数。收敛行为如经典傅里叶情形：光滑的 f 收敛快且一致，但 f 中的跳跃会在勒让德部分和中产生吉布斯过冲，正如正弦那样。
在 [-1, 1] 上展开 f(x) = |x|。由对称性只出现偶阶勒让德多项式：|x| = (1/2) P_0 + (5/8) P_2 - (3/16) P_4 + ...。系数递减，部分和逼近 V 形，在 x = 0 处（|x| 不可导）有轻微折角。
偶函数只展为偶阶勒让德多项式——奇偶性把工作量减半，正如傅里叶余弦级数那样。
勒让德级数是为 [-1, 1] 上权 1 量身定制的；勿与同区间的切比雪夫级数混淆，后者用权 1/sqrt(1 - x^2)，其精度反而聚集在端点附近。