广义傅里叶级数（generalized Fourier series）
普通傅里叶级数把函数写成正弦与余弦之和。但正弦余弦不过是众多正交基中的一组——恰好契合两端固定的弦。广义傅里叶级数是同一思路，只是换掉了基底：把函数展开为你的几何所产生的那个斯图姆-刘维尔问题的本征函数的无穷和。柱面要贝塞尔函数，球面要勒让德多项式，振子要埃尔米特函数；记账方式完全相同。
写 f(x) = sum over n of c_n y_n(x)，其中 {y_n} 是正交本征函数，{c_n} 是广义傅里叶系数。关于权 w 的正交性让你用一次投影就得每个系数：c_n =（integral from a to b of f(x) y_n(x) w(x) dx）除以（integral from a to b of y_n(x)^2 w(x) dx）。分子衡量 f 中含有多少模式 n；分母（范数平方）作归一化。若本征函数已归一化为单位范数，分母为 1，c_n 就是投影本身。基底的完备性保证级数在均方意义下确实重构 f。
这正是分离变量法的实用引擎。把偏微分方程分离之后，你得到一组本征函数基底和一个初始或边界分布；把这个分布展成广义傅里叶级数即得系数，随后每个模式各自演化。要留意的诚实之处是收敛：与经典级数一样，间断 f 的广义傅里叶级数在均方意义下收敛，却在跳跃处过冲，而它逐项求导后的级数收敛可能比级数本身慢得多。
要在 [-1, 1] 上把 f(x) = 1 展成勒让德多项式，作投影：c_n = ((2n+1)/2) integral from -1 to 1 of 1 乘 P_n dx。只有 c_0 存活，得到简单的 f = P_0 = 1——理应如此，因为常数本身就是零阶勒让德多项式。
系数公式是每个模式一次投影；P_n 在 [-1, 1] 上的范数平方分母为 2/(2n+1)。
系数之所以唯一又易求，全因基底正交；若用非正交函数展开，你就无法逐模式投影，而须一次性求解所有系数的耦合线性方程组。