本征函数的完备性（completeness of eigenfunctions）

正交性告诉你本征函数指向不同方向；完备性告诉你它们指向足够多的方向，足以到达每一处。完备的集合不留缝隙：区间上任何合理的函数都能重构为本征函数的无穷组合，没有任何这组基无法表示的残余。这正是一个张成整个空间的坐标系，与一个只张成其中某个平面的坐标系之间的差别。

确切地说，正则斯图姆-刘维尔问题的本征函数 {y_n} 在关于权 w 平方可积的函数空间中完备。这意味着对任何这样的 f，广义傅里叶级数 sum of c_n y_n 在均方（带权 L^2）意义下收敛到 f：随着保留项数增加，(f - 部分和)^2 的带权积分趋于零。等价地说，唯一与每个本征函数都正交的函数是零函数——没有这组基漏掉的非零方向。完备性是比正交性更深的定理；它并非白给，但对正则斯图姆-刘维尔问题有保证。

完备性是每个分离变量解背后那张无声的许可证。当你把初始温度分布按本征函数展开、再让每个模式演化时，你是在押注本征函数能精确表示那个分布；完备性使这一押注稳妥。但要诚实地交代收敛的种类：均方收敛并不承诺级数在每一个点上都等于 f，而在跳跃间断处部分和会永远过冲（吉布斯现象）。完备性保证函数在能量意义下被捕获，而非处处逐点相等。