吉布斯现象

用很多项画出方波傅里叶级数的部分和，你会看到某种顽固的东西：紧挨着每个跳变，曲线会过冲，越过真正的顶探出去、又跌到真正的底之下，后面拖着小小的波纹。加更多项，波纹会朝跳变挤得更近、变得更窄——但第一个过冲的高度却拒绝缩小。这种在间断处旁边持续不去的过冲，就是吉布斯现象，傅里叶分析中最有名的'是特性而非缺陷'。

下面是诚实的机理。当你取更多项 N 时，部分和确实在远离跳变的每一个固定点处收敛到 f，甚至在跳变本身处收敛到中点。但过冲并不待在某个固定点上——它所在的位置会随 N 增大而滑向跳变，始终停留在收敛并非一致的那条窄带里。在极限中，过冲的峰值趋于一个确定的高度：约为跳变大小的 9%（更确切地说，整个起伏的过冲倍数与 (sin t)/t 的积分即正弦积分在 pi 处的取值相关）。所以无论你叠加多少谐波，部分和的最大值都以那同一个固定的百分比越过跳变；只不过它发生在越来越薄的一条缝里。

这就是为什么加项消除不了它，以及它在实践中为什么重要。截断任何带尖锐边缘的信号——有硬边界的图像、一声音频咔哒、一个阶跃输入——都会在边缘附近产生这种'振铃'，在 JPEG 式压缩中表现为光晕、在滤波器输出中表现为过冲。它不是数值误差；它是用光滑波去逼近一个间断时不可避免的代价。标准的补救不是加更多项，而是更温和的求和——把系数乘以一个渐缩的窗（费耶/切萨罗平均、兰乔斯 sigma 因子），以牺牲一点锐度换取过冲的消除。