狄利克雷条件

为 f 写出一个傅里叶级数是一回事；知道这级数真的能加回到 f 又是另一回事。狄利克雷条件是一组友好、可核查的假设——用眼睛就容易验证——它保证傅里叶级数收敛，并告诉你它在每一点恰好收敛到什么值。它们不是可能最锐利的条件，但几乎涵盖了工程师或物理学家遇到的每一个函数：脉冲、斜坡、方波，任何分段良好的东西。

对周期函数 f 来说：若在一个周期上 f 绝对可积、只有有限个极大极小、且只有有限个跳跃间断（每个都是有限跳变），那么 f 的傅里叶级数处处收敛。在 f 连续处，级数收敛到 f(x)。在 f 有跳变处，级数收敛到跳变的中点，即左极限与右极限的平均 (f(x+) + f(x-))/2。在跳变处这条干净利落的判定，正是实用上重要的部分：级数不偏向任何一边，它取折中。

这些条件正是傅里叶方法在应用中如此可靠的原因。你很少需要 L^2 理论那套重型机器来证明一次计算的合理性；你只需确认你的信号是分段光滑、跳变有限，就立刻知道这级数是正当的、以及它落在哪里。诚实的说法是：狄利克雷条件是充分的，而非必要的——存在违反它们却仍收敛的展开，也存在傅里叶级数在某点发散的病态连续函数——但对数学物理中那些家常的函数，它们恰好就是你想要的可用判据。