连续性

连续函数就是那种你不用提笔就能一笔画完的函数——没有空洞、没有突然的跳跃、没有图像被撕裂开的地方。一天里的气温是连续的：它可以上升或下降，但绝不会从一个值瞬间「传送」到另一个值。连续性是用数学的方式说一个函数没有意外：把输入轻轻挪动一点点，输出也只挪动一点点。

确切地说，f 在点 a 处连续，需要同时满足三件事：f(a) 有定义；极限 lim x->a f(x) 存在；并且这两者是同一个数——也就是 lim x->a f(x) = f(a)。用大白话说，函数要去的地方，恰好就是它真正落脚的地方。如果极限和取值不一致，或者其中任一个缺失，函数就在 a 处不连续。如果在一个区间的每一点上都满足上述条件，函数就在该区间上连续；我们熟悉的那些函数——多项式、正弦余弦、指数函数——在它们有定义的地方处处连续。

连续性之所以重要，是因为微积分的那些大定理都悄悄地以它为前提。介值定理（区间 [a, b] 上的连续函数会取到 f(a) 与 f(b) 之间的每一个值）和最值定理（闭且有界区间上的连续函数必能取到最大值和最小值）若没有连续性都会失效。还有一个常见的混淆要澄清：连续比可导更弱——一个函数可以连续，却带有尖角，比如 |x| 在 0 处，那里不存在唯一的切线。