可微性（differentiability）

可微性不过是「这里光滑到足以有一个明确斜率」的文绉绉说法。用手指沿着图像滑过去：如果曲线在某点平缓地弯曲，没有突然的折角或断裂，你的手指就能沿一个清晰的方向继续移动——曲线在那里就是可微的。如果你撞上一个尖角，手指不得不猛地拐向新方向，那里就不可微。

形式上说，当导数 f'(a) = lim h->0 (f(a+h) - f(a)) / h 作为一个有限的数存在时，函数 f 在点 a 处可微。要让这个极限存在，无论 h 从正方向还是负方向缩小，差商都必须趋向同一个值——从左边逼近的斜率必须与从右边逼近的斜率相等。如果在一个区间的每一点都成立，函数就在该区间上可微。

要记住的关键关系只朝一个方向成立：可微蕴含连续，反过来不成立。如果一个函数在某点有导数，它在那里必定连续（没有跳跃或空洞）。但许多连续函数并不可微：|x| 在 0 处有尖角，立方根曲线在 0 处有竖直切线，而尖点会捏成一个点——它们都不间断，却没有唯一的斜率。所以光滑是比单纯连续更强的要求。