导数（derivative）

想象你正在开车，瞥了一眼速度表，上面显示 60 公里每小时——但那是你此刻这一瞬间的速度，而不是整趟行程的平均速度。导数就是这块速度表读数的数学版本：它告诉你某样东西在某一精确时刻变化得有多快，而不是在一段时间里的平均变化。平均变化问的是「走了多远除以花了多久」，而导数则不断拉近镜头，直到那段时间小到几乎为零。

精确地说，函数 f 在某点 x 处的导数，是差商的极限：f'(x) = lim h->0 (f(x+h) - f(x)) / h。分式 (f(x+h) - f(x)) / h 是在一小步 h 上的平均变化率——也就是图像上两个相邻点之间的纵向变化除以横向变化。当 h 缩小到趋近 0 时，这两个点逐渐重合；若这个分式稳定地趋向某个唯一的有限值，该值就是导数。常用记号有 f'(x)（拉格朗日记号）、dy/dx（莱布尼茨记号，读作「d y d x」），物理中还有上加一点的 y 表示对时间求导。

把导数是什么、不是什么弄清楚很有帮助。它确实是一个极限——你并不真的代入 h = 0，那会得到毫无意义的 0/0；你要看的是当 h 任意逼近 0 时，这个分式趋向什么。而且导数本身也是一个函数：在每一个使极限存在的输入 x 处，它输出那里的变化率，于是一条曲线就交给你一整条由斜率组成的新曲线。