变化率（rate of change）

变化率告诉你：输入每走一步，输出移动多少。2 小时开了 120 英里，平均速率就是每小时 60 英里：这一个数字把整段旅程压缩成一句概括——位置随时间变化得有多快。速度、增长、冷却、利息——几乎每一个变化的量都用某种变化率来描述。

对函数 f 而言，输入从 a 到 b 之间的平均变化率，是输出的改变量除以输入的改变量，即 (f(b) - f(a)) / (b - a)。从几何上看，这是割线的斜率——穿过图像上 (a, f(a)) 与 (b, f(b)) 两点的那条直线。纵向升高除以横向跨度：函数爬升了多少，均匀地摊到整个区间上。

这正是导数生长的种子。平均变化率把一整段抹平了，所以它可能掩盖逐时逐刻发生的事——一辆平均时速 60 英里的车，也许先停着不动，再飙到 90。要捕捉某一瞬间而非某区间上的变化率，你让 b 不断逼近 a，看着割线斜率趋向一个极限值；这个极限就是瞬时变化率，也就是导数。