极限

想象你正朝着一道门口走去。你也许永远不会正好踩在门槛上，但旁观者一眼就能看出你要去哪里。极限对函数问的正是同一个问题：当输入 x 越来越靠近某个值 a 时，输出 f(x) 会朝着哪个唯一的数靠拢？那个目的地就是极限。妙就妙在你其实并不需要真的到达——函数甚至不必在 a 处有定义——这个问题照样可以有一个清晰的答案。

我们写作 lim x->a f(x) = L，意思是「当 x 趋近 a 时，f(x) 趋近数 L」。关键词是「趋近」。我们刻意不去管在 x = a 这一点上到底发生了什么，只看它附近的取值。要让极限等于 L，f(x) 必须从两侧——左边和右边——都朝着 L 靠拢，而且两侧必须一致。如果左侧和右侧瞄向不同的数，或者取值飞向无穷，那么极限就不存在。请注意，L 说的是 f(x) 的走势，它可以和 f(a) 完全不同，甚至在 f(a) 根本不存在时也照样存在。

极限是微积分中其余一切赖以建立的基石。导数是一个极限，定积分是一个极限，而无穷级数恰好在某个极限存在时收敛。整门学科归根结底就是对「各种量趋向何方」的细致研究。所以在这一个观念上多花的一点功夫，会一次又一次地得到回报。