极限的 epsilon-delta 定义

说 f(x)「趋近」L 很符合直觉，但一个爱较真的人可能会问：到底多近？而且多近才算够近？极限的 epsilon-delta 定义用两位玩家之间的挑战游戏来回答。挑战者在 L 周围指定一个极小的目标容差——叫它 epsilon——并要你把 f(x) 落进这个容差里。你的回应方式是在 a 周围找到一个极小的区域——叫它 delta——使得你这个区域里的每一个输入都落进挑战者的目标里。如果不管挑战多么苛刻你总能应对，那么极限就真的是 L。

用符号写：lim x->a f(x) = L 的意思是，对每一个 epsilon > 0，都存在一个 delta > 0，使得只要 0 < |x - a| < delta，就有 |f(x) - L| < epsilon。逐块拆开看：|f(x) - L| < epsilon 说的是「输出落在 L 的 epsilon 范围内」；0 < |x - a| < delta 说的是「输入落在 a 的 delta 范围内，但不等于 a」——正是那个小小的 0 < 让我们得以忽略 a 这一点本身。次序很要紧：先有 epsilon（要求），然后你才拿出 delta（你的回应，且允许依赖于 epsilon）。

正是这个定义在十九世纪让微积分立足于坚实的基础之上，用真正可以证明的东西取代了关于「无穷小」量的含糊说法。你不会用这种方式去算日常的极限——那靠代数和极限运算法则就够了。它真正的职责是把「趋近」精确到足以让定理无需含糊其辞地被证明。而连续性，不过就是把这同一个定义里的 L 换成 f(a)。